Bose-Einstein-Statistik

Bo|se-Ein|stein-Sta|tis|tik [nach dem indischen Physiker S. N. Bose (1894–1974) u. A. Einstein]: ↑ Fermi-Dirac-Statistik.

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Bose-Einstein-Statistik,

 

die von S. N. Bose und A. Einstein 1924 angegebene Quantenstatistik für gleichartige, nicht unterscheidbare Teilchen mit ganzzahligem Spin, die ein mit der Umgebung nur Wärme austauschendes thermodynamisches System der Temperatur T bilden. Die paarweise Vertauschung von solchen als Bosonen bezeichneten Teilchen ergibt im Unterschied zur Boltzmann-Statistik keinen neuen Mikrozustand; jedoch können sich in der Bose-Einstein-Statistik, da die quantenmechanische Wellenfunktion eines Bosonensystems vollständig symmetrisch in den Koordinaten und Impulsen aller Bosonen ist, beliebig viele gleichartige Bosonen im gleichen Quantenzustand oder Energieniveau befinden (im Gegensatz zu der für Fermionen gültigen Fermi-Dirac-Statistik). Analog zur Boltzmann-Statistik wird in der Bose-Einstein-Statistik für eine Gesamtheit wechselwirkungsfreier Bosonen (ideales Bose-Gas) aus allen möglichen Mikrozuständen (definiert durch die genaue Angabe der Bosonenzahl in jedem Quantenzustand) und deren thermodynamischen Wahrscheinlichkeiten der wahrscheinlichste Systemzustand bestimmt, der im thermodynamischen Gleichgewicht fast immer vorliegt. Die mittleren Besetzungszahlen n̄_i der durch Energien ε_i gekennzeichneten Quantenzustände oder Energieniveaus der Bosonen werden in diesem wahrscheinlichsten Systemzustand durch die Bose-Einstein-Verteilung

 

gegeben; dabei ist μ das aus der Gesamtteilchenzahl N = ∑n̄_i zu bestimmende chemische Potenzial des Systems (bei Systemen mit veränderlicher Teilchenzahl N, z. B. für Photonen und Quasiteilchen wie die Phononen, gilt μ = 0) und k die Boltzmann-Konstante. Mithilfe dieser Verteilung lassen sich alle thermodynamischen Größen eines Bose-Gases errechnen; man erhält z. B. für die Energieverteilung in einem Photonengas das plancksche Strahlungsgesetz. Für T → 0 wird die Besetzungszahl n̄₀ des niedrigsten Energieniveaus ε₀ auf Kosten aller übrigen n̄_i immer größer, und es tritt Bose-Einstein-Kondensation ein.